Question

6．如圖所示，在梯形BCDE中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，沿AB將四邊形ABCD折起，使得平面ABCD與平面ABE垂直，M為CE的中點(diǎn)．
（1）求證：AM⊥BE；
（2）求三棱錐C-BED的體積．

Answer 1

分析 （1）取EB的中點(diǎn)N，連接AN、MN，證明DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE，MN∥BC，利用CB⊥平面ABE，可得MN⊥平面ABE，進(jìn)而證明BE⊥平面AMN，即可證明AM⊥BE；
（2）證明AE⊥平面BCD，利用三棱錐C-BED的體積=V_E-BCD=$\frac{1}{3}$×S_△BCD×EA，即可求三棱錐C-BED的體積．

解答 （1）證明：∵平面ABCD⊥平面ABE，由已知條件可知，DA⊥AB，AB⊥BC，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE．
取EB的中點(diǎn)N，連接AN、MN，
在△ABE中，∵AE=AB，N為EB的中點(diǎn)，
∴AN⊥BE．在△EBC中，
∵EM=MC，EN=NB，∴MN∥BC，
又∵CB⊥平面ABE，
∴MN⊥平面ABE，∴MN⊥BE．
又∵AN∩MN=N，∴BE⊥平面AMN，
又∵AM?平面AMN，∴AM⊥BE…（6分）
（2）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，AE⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴AE⊥平面ABCD，即AE⊥平面BCD．
又∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$×BC×BA=$\frac{1}{2}$×1×2=1，
∴三棱錐C-BED的體積=V_E-BCD=$\frac{1}{3}$×S_△BCD×EA=$\frac{1}{3}$×1×2=$\frac{2}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面、面面垂直的性質(zhì)與判定，考查三棱錐C-BED的體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．