Question

13．如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=$\sqrt{6}$．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值；
（3）求AD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）欲證AO⊥平面BCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內(nèi)兩相交直線垂直，連接OC，而AO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，滿足定理?xiàng)l件；
（2）過(guò)O作OE⊥BC于E，連接AE，根據(jù)二面角平面角的定義知∠AEO為二面角A-BC-D的平面角，在Rt△AEO中求出此角即可；
（3）利用等體積求出D到平面ABC的距離，即可求出AD與平面ABC所成角的正弦值．

解答 （1）證明：連接OC，∵△ABD為等邊三角形，O為BD的中點(diǎn)，
∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD為等邊三角形，
∵O為BD的中點(diǎn)，AB=2，AC=$\sqrt{6}$，
∴AO=CO=$\sqrt{3}$．
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（2）解：過(guò)O作OE⊥BC于E，連接AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影為OE．
∴AE⊥BC．∴∠AEO為二面角A-BC-D的平面角．
在Rt△AEO中，∴AO=$\sqrt{3}$，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
∴二面角A-BC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）解：設(shè)D到平面ABC的距離為h，則S_△ABC=$\frac{1}{2}•\sqrt{6}•\sqrt{4-\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，S_△BDC=$\frac{\sqrt{3}}{4}•{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，
∴由等體積可得$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}$h
∴h=$\frac{6}{\sqrt{15}}$，
∴AD與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{h}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線與平面垂直的判定，AD與平面ABC所成角的正弦值以及二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．