Question

18．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A₁，A₂和A₃表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結(jié)論中正確的是②④（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．
①P（B）=$\frac{2}{5}$；
②P（B|A₁）=$\frac{5}{11}$；
③事件B與事件A₁相互獨(dú)立；
④A₁，A₂，A₃是兩兩互斥的事件．

Answer 1

分析 由題意A₁，A₂，A₃是兩兩互斥的事件，由條件概率公式求出P（B|A₁），P（B）=P（A₁B）+P（A₂B）+P（A₃B），對(duì)照四個(gè)命題進(jìn)行判斷找出正確命題，選出正確選項(xiàng)．

解答 解：由題意A₁，A₂，A₃是兩兩互斥的事件，P（A₁）=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，P（A₂）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，P（A₃）=$\frac{3}{10}$；
P（B|A₁）=$\frac{P（B{A}_{1}）}{P（{A}_{1}）}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{5}{11}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{5}{11}$，由此知，②正確；
P（B|A₂）=$\frac{4}{11}$，P（B|A₃）=$\frac{4}{11}$；
而P（B）=P（A₁B）+P（A₂B）+P（A₃B）=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）+P（A₃）P（B|A₃）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{11}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{11}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{4}{11}$=$\frac{9}{22}$．由此知①③不正確；
A₁，A₂，A₃是兩兩互斥的事件，由此知④正確；
對(duì)照四個(gè)命題知②④正確；
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相互獨(dú)立事件，解題的關(guān)鍵是理解題設(shè)中的各個(gè)事件，且熟練掌握了相互獨(dú)立事件的概率簡(jiǎn)潔公式，條件概率的求法，本題較復(fù)雜，正確理解事件的內(nèi)蘊(yùn)是解題的突破點(diǎn)．