求下列各題的最值.
(1)已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,,求z=
2
x
+
5
y
的最小值;
(2)x>0,求f(x)=
12
x
+3x的最小值
;
(3)x<3,求f(x)=
4
x-3
+x的最大值
;
(4)x∈R,求f(x)=sin2x+1+
5
sin2x+1
的最小值
分析:(1)由lgx+lgy=1得xy=10,故可用基本不等式.
(2)由x>0,
12
x
•3x=36
是常數(shù),故可直接利用基本不等式
(3)因
4
x-3
•x
不是常數(shù),故需變形.f(x)=
4
x-3
+x-3+3,又x-3<0
,故需變號.
(4)雖然(sin2x+1)•
5
sin2x+1
=5(常數(shù))
,但利用基本不等式時,等號取不到,所以利用函數(shù)的單調(diào)性.
解答:解:(1)由已知條件lgx+lgy=1,可得xy=10.則
2
x
+
5
y
=
2y+5x
10
2
10xy
10
=2

(
2
x
+
5
y
)min=2
.當且僅當2y=5x,即x=2,y=5時等號成立.
(2)∵x>0,∴f(x)=
12
x
+3x≥2
12
x
•3x
=12.等號成立的條件是
12
x
=3x,即x=2
,
∴f(x)的最小值是12
(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0
f(x)=
4
x-3
+x=
4
x-3
+(x-3)+3=-[
4
x-3
+(x-3)]+3≤-2
4
x-3
•(x-3)
+3=-1

當且僅當
4
3-x
=3-x
,即x=1時,等號成立.故f(x)的最大值為-1.
(4)令sin2x+1=t,則t∈[1,2],故g(t)=t+
5
t
.任取t1,t2∈[1,2]且t1t2

g(t1)-g(t2)=(t1-t2)-(
5
t1
-
5
t2
)

=(t1-t2)-
5(t1-t2)
t1t2
=(t1-t2)(1-
5
t1t2
)

=(t1-t2)•
t1t2-5
t1t2
.∵t1t2t1,t2∈[1,2],

∴t1-t2<0,t1t2-5<0,故g(t1)-g(t2)>0,∴g(t1)>g(t2),
∴g(t)在[1,2]上是減函數(shù),∴g(t)min=g(2)=2+
5
2
=
9
2
,∴f(x)min=
9
2
,

等號成立的條件是sin2x+1=2.sin2x=1,sin2x=±1,
∴x=kπ+
π
2
(k∈Z)

故f(x)的最小值是
9
2
點評:本題主要考查了基本不等式.在使用均值不等式時,要注意等號成立的條件.
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(3)
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