【題目】已知函數(shù)f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1處取得極值﹣3﹣c，其中a，b，c為常數(shù)．

（1）試確定a，b的值；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范圍．

【答案】（1）、，（2）的單調遞增區(qū)間為（0，1），而的單調遞減區(qū)間為．（3）的取值范圍為

【解析】

試題分析： （1）由極值的定義和已知條件可得b﹣c=﹣3﹣c，，即b=-3；對已知函數(shù)求導，再由，列出管a，b 的等式，即可得到a的值.（2）由（1）可得到f（x）的表達式，然后對其求導，由或，可得到函數(shù)的單調增區(qū)間或減區(qū)間.（3）求出f（x）的最小值﹣3﹣c，已知條件式f（x）≥﹣2c2恒成立可轉化為﹣3﹣c≥﹣2c2，解得c即可.

試題解析：解：（1）由題意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，從而b=﹣3。2分

又對f（x）求導得=x3（4alnx+a+4b），

由題意f'（1）=0，因此a+4b=0，得a=12 4分

（2）由（1）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1

當0＜x＜1時，f'（x）＜0， f（x）單調遞減；當x＞1時，f'（x）＞0， f（x）單調遞增，

故 f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，1），單調遞增區(qū)間為（1，+∞） 8分

（3）由（2）知，f（x）在x=1處取得極小值f（1）=﹣3﹣c，此極小值也是最小值，

要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2 10分

即2c2﹣c﹣3≥0，從而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1

所以c的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪12分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知橢圓C1：+=1，C2：+=1（a＞b＞0）有相同的離心率，F(xiàn)（﹣ ， 0）為橢圓C2的左焦點，過點F的直線l與C1、C2依次交于A、C、D、B四點．
（1）求橢圓C2的方程；
（2）求證：無論直線l的傾斜角如何變化恒有|AC|=|DB|

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；

（2）若對于任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，且，證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】德國數(shù)學家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1. 對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)n（首項）按照上述規(guī)則施行變換后的第8項為1（注：l可以多次出現(xiàn)），則n的所有不同值的個數(shù)為

A. 4 B. 6 C. 8 D. 32

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC邊上的高．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合．直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）寫出C的直角坐標方程，并指出C是什么曲線；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于P、Q兩點，求|PQ|值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=logm（m＞0且m≠1），

（I）判斷f（x）的奇偶性并證明；

（II）若m=，判斷f（x）在（3，+∞）的單調性（不用證明）；

（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域為[logmm（β-1），logm（α-1）]？若存在，求出此時m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．
（Ⅰ）求證：平面ABC1⊥平面A1C1CA；
（Ⅱ）設D是A1C1的中點，判斷并證明在線段BB1上是否存在點E，使DE∥平面ABC1；若存在，求三棱錐E﹣ABC1的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示， 是海面上一條南北方向的海防警戒線，在 上點 處有一個水聲監(jiān)測點，另兩個監(jiān)測點 分別在 的正東方向 處和 處．某時刻，監(jiān)測點 收到發(fā)自目標 的一個聲波， 后監(jiān)測點 后監(jiān)測點 相繼收到這一信號，在當時的氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是 ．

（1）設 到 的距離為 ，用 分別表示 到 的距離，并求 的值；

（2）求目標 的海防警戒線 的距離（精確到 ）．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案