Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1處取得極值﹣3﹣c，其中a，b，c為常數(shù)．

（1）試確定a，b的值；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）、，（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），而的單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）的取值范圍為

【解析】

試題分析： （1）由極值的定義和已知條件可得b﹣c=﹣3﹣c，，即b=-3；對已知函數(shù)求導，再由，列出管a，b 的等式，即可得到a的值.（2）由（1）可得到f（x）的表達式，然后對其求導，由或，可得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間.（3）求出f（x）的最小值﹣3﹣c，已知條件式f（x）≥﹣2c2恒成立可轉(zhuǎn)化為﹣3﹣c≥﹣2c2，解得c即可.

試題解析：解：（1）由題意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，從而b=﹣3。2分

又對f（x）求導得=x3（4alnx+a+4b），

由題意f'（1）=0，因此a+4b=0，得a=12 4分

（2）由（1）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1

當0＜x＜1時，f'（x）＜0， f（x）單調(diào)遞減；當x＞1時，f'（x）＞0， f（x）單調(diào)遞增，

故 f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞） 8分

（3）由（2）知，f（x）在x=1處取得極小值f（1）=﹣3﹣c，此極小值也是最小值，

要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2 10分

即2c2﹣c﹣3≥0，從而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1

所以c的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪12分