Question

四棱錐P-ABCD的直觀圖、主視圖、側視圖如圖所示，主視圖是直角三角形，側視圖是等腰直角三角形，有關數(shù)據如圖所示．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）在直觀圖中，M是PC的中點，求證：DM∥平面PAB．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由三視圖知PA⊥AB，AD∥BC，AB=2，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，BC=4，AD=2，得到PA⊥平面ABCD，利用四棱錐體積公式求之；
（Ⅱ）只要證明DM∥AN，利用線面平行的判定定理證明．

解答： 解：（Ⅰ） 由主視圖和側視圖，知PA⊥AB，AD∥BC，AB=2；
平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，BC=4，AD=2．
∵PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PA⊥平面ABCD，從而PA=2．
易知底面ABCD為直角梯形，其面積為S底面ABCD=

1

2

×(4+2)×2=6．

所以V四棱錐P-ABCD=

1

3

S底面ABCD×PA=

1

3

×6×2=4．…（4分）
（Ⅱ）如圖所示，取PB中點N，
連結 DM、MN、NA．
∵M、N分別為PC、PB的中點，
∴MN∥BC，且MN=

1

2

BC，
于是MN∥AD，且MN=AD，
則四邊形ADMN為平行四邊形，
∴DM∥AN，
又DM?平面PAB，AN?平面PAB，所以DM∥平面PAB．…（8分）

點評：本題考查了由幾何體的三視圖求幾何體的體積以及證明線面平行的判定定理的運用．