Question

【題目】（文科）已知函數(shù).

(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ; (2) .

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算,根據(jù)點(diǎn)斜式可求切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出的最大值，結(jié)合對(duì)任意恒成立，求出的取值范圍即可.

試題解析：(1)由，得，則

又， .

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.

(2)已知對(duì)任意恒成立，

令

①當(dāng)時(shí)，

， 在上單調(diào)遞減，

，恒成立.

②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的開口方向向下，對(duì)稱軸為，且，

所以當(dāng)時(shí)， ， ， 在上單調(diào)遞減，

，恒成立.

③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的開口方向向上，對(duì)稱軸為，

所以在上單調(diào)遞增，且，

故存在唯一，使得，即.

當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞增.

所以在上， .

所以得，

綜上,得取值范圍是.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題是利用方法 ③ 求得的范圍的.