【題目】已知函數(shù)f(x)=x3ax2﹣x+1(a∈R).
(1)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f (1))處的切線方程;
(2)當(dāng)a<0時,設(shè)g(x)=f(x)+x.
①求函數(shù)g(x)的極值;
②若函數(shù)g(x)在[1,2]上的最小值是﹣9,求實數(shù)a的值.
【答案】(1)8x﹣y﹣4=0;(2)①極大值是1,極小值為,②﹣3
【解析】
(1)求出導(dǎo)數(shù),再求出,然后代入直線的點斜式,求出切線方程;
(2)①求出導(dǎo)數(shù)的零點,然后判斷零點左右的符號,確定極值情況;②因為函數(shù)連續(xù),所以只需綜合極值、端點處函數(shù)值,大中取大,小中取小,確立函數(shù)的最值.
解:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x3+3x2﹣x+1,=3x2+6x﹣1,
∴k==8,f(1)=4,故切線方程為y﹣4=8(x﹣1),即:8x﹣y﹣4=0.
(2)①g(x)=f(x)+x=x3,a<0,
∴令g′(x)=3x2+3ax=3x(x+a)=0得x1=0,x2=﹣a>x1.
隨著x的變化,g(x)和g′(x)的變化如下:
x | (﹣∞,0) | 0 | (0,﹣a) | ﹣a | (﹣a,+∞) |
g′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
g(x) | ↑ | 極大值 | ↓ | 極小值 | ↑ |
所以g(x)的極大值是g(0)=1;極小值為g(﹣a).
②g′(x)=3x2+3ax=3x(x+a),
(1)當(dāng)﹣1≤a<0時,g′(x)≥0,g(x)在[1,2]內(nèi)遞增,
g(x)min=g(1)(舍去).
(2)當(dāng)﹣2<a<﹣1時,則x,g′(x),g(x)關(guān)系如下:
x | (1,﹣a) | ﹣a | (﹣a,2) |
g′(x) | ﹣ | 0 | = |
g(x) | ↓ | 極小值 | ↑ |
g(x)min=g(﹣a)(舍).
(3)當(dāng)a≤﹣2時,g(x)在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞減,
g(x)min=g(2)=6a+9=﹣9,a=﹣3.
綜上可知,a=﹣3.
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【題目】如圖甲,在平面四邊形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙),設(shè)點E、F分別為棱AC、AD的中點.
(1)求證:DC⊥平面ABC;
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸入的的值為4時,輸出的的值為2,則空白判斷框中的條件可能為( ).
A. B.
C. D.
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【題目】已知橢圓離心率為,點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形.點C是橢圓的下頂點,經(jīng)過橢圓中心O的一條直線與橢圓交于A,B兩個點(不與點C重合),直線CA,CB分別與x軸交于點D,E.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)判斷的大小是否為定值,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,直三棱柱中,,, ,外接球的球心為,點是側(cè)棱上的一個動點.有下列判斷:
① 直線與直線是異面直線;②一定不垂直;
③ 三棱錐的體積為定值; ④的最小值為.
其中正確的序號序號是______.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,若關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù) .
(1)若,求在處的切線方程;
(2)若對于任意的正數(shù),恒成立,求實數(shù)的值;
(3)若函數(shù)存在兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍.
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