設(shè)f(x)=x(x-1)(x+1),請(qǐng)問下列哪些選項(xiàng)是正確的?
(1)(2)f(x)=2有整數(shù)解    (3)f(x)=x2+1有實(shí)數(shù)解   (4)f(x)=x有不等于零的有理數(shù)解
(5)若f(a)=2,則f(-a)=2.
【答案】分析:(1)把代入f(x)可得結(jié)論錯(cuò)誤;(2)方程f(x)=2有整數(shù)解,即x3-x-2=0有整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x3-x-2有整零點(diǎn),利用反證法即可得到結(jié)論;(3)方程 f(x)=x2+1有實(shí)數(shù)解,即x3-x2-x-1=0為一整系數(shù)三次方程式,此方程式必有三個(gè)根;因?yàn)樘摳爻晒曹椞摳霈F(xiàn),故此方程式必有一實(shí)根;(4)f(x)=x有不等于零的有理數(shù)解,即x(x-1)(x+1)=x,解此方程即可求得結(jié)論;(5)f(x)=x(x-1)(x+1)是奇函數(shù),因此f(a)=2,則f(-a)=-2.
解答:解:(1)
(2)f(x)=2⇒x(x-1)(x+1)=2⇒x3-x-2=0
令g(x)=x3-x-2
為g(x)=0的有理根,則a|1,b|2,故可為±1,±2.
但g(1)≠0,g(-1)≠0,g(2)≠0,g(-2)≠0,故g(x)=x3-x-2=0沒有整數(shù)解,即f(x)=x3-x=2沒有整數(shù)解.
(3)f(x)=x2+1⇒x3-x=x2+1⇒x3-x2-x-1=0為一整系數(shù)三
次方程式,此方程式必有三個(gè)根;因?yàn)樘摳爻晒曹椞摳?br />現(xiàn),故此方程式必有一實(shí)根.
(4)
故f(x)=x沒有不等于0的有理根.
(5)f(a)=2⇒a(a-1)(a+1)=2,則f(-a)=-a(-a-1)(-a+1)=-a(a+1)(a-1)=-2
故正確的是(3)
點(diǎn)評(píng):此題是中檔題.考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系,以及函數(shù)的奇偶性,是道綜合題,同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,若g(x)=a(x-2)-(x-2)3
(1)求f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極值,證明:對(duì)任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立;
(3)若f(x)是[1,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且當(dāng)x≥1,f(x)≥1時(shí),有f[f(x)]=x,求證:f(x)=x

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(2)當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極值,證明:對(duì)任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立;
(3)若f(x)是[1,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且當(dāng)x≥1,f(x)≥1時(shí),有f[f(x)]=x,求證:f(x)=x

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(3)若f(x)是[1,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且當(dāng)x≥1,f(x)≥1時(shí),有f[f(x)]=x,求證:f(x)=x

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B.°h)(x)=((f°h)•(g°h))(x)
C.((f°g)°h)(x)=((f°h)°(g°h))(x)
D.•h)(x)=•)(x)

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