Question

如圖，兩條過原點O的直線l₁，l₂分別與x軸、y軸成30°的角，點P(x₁，y₁)在直線l₁上運動，點Q(x₂，y₂)在直線l₂上運動，且線段PQ的長度為2.

(1)求動點M(x₁，x₂)的軌跡C的方程；

(2)設過定點T(0,2)的直線l與(1)中的軌跡C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

[解析]　(1)由已知得直線l₁⊥l₂，

l₁y＝x，l₂y＝－x，

∵點P(x₁，y₁)在直線l₁上運動，點Q(x₂，y₂)在直線l₂上運動，

∴y₁＝x₁，y₂＝－x₂，

由|PQ|＝2，得(x＋y)＋(x＋y)＝4，

即x＋4x＝4⇒＋x＝1，

∴動點M(x₁，x₂)的軌跡C的方程為＋y²＝1.

(2)直線l的方程為y＝kx＋2，將其代入＋y²＝1，

化簡得(1＋3k²)x²＋12kx＋9＝0，

設A(x₃，y₃)、B(x₄，y₄)，

∴Δ＝(12k)²－36×(1＋3k²)>0⇒k²>1，

且x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝，

∵∠AOB為銳角，∴>0，

即x₃x₄＋y₃y₄>0⇒x₃x₄＋(kx₃＋2)(kx₄＋2)>0，

∴(1＋k²)x₃x₄＋2k(x₃＋x₄)＋4>0.

將x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝代入上式，

化簡得>0⇒k²<.

由k²>1且k²<，得k∈(－，－1)∪(1，).