Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|（x∈R）
（1）證明：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）利用絕對值及分段函數(shù)知識，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的形式，然后畫出函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)的值域；
（3）在同一坐標系中畫出直線y=x+2，觀察圖象寫出不等式f（x）＞x+2的解集．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，我們判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，進而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得函數(shù)的奇偶性，
（2）先將帶絕對值的函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)的形式，進而結(jié)合分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)及偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，可得函數(shù)簡圖；
（3）根據(jù)（2）中函數(shù)簡圖，數(shù)形結(jié)合可在同一坐標系中畫出直線y=x+2，觀察圖象寫出不等式f（x）＞x+2的解集．

解答：解：（1）f（-x）=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f（x）
∴f（x）是偶函數(shù)   
（2）原函數(shù)式可化為：
f(x)=

-2x，x＜-1 2，-1≤x≤1 2x，x＞1

；其圖象如圖所示，
由函數(shù)圖象知，函數(shù)的值域為[2，+∞）  …（9分）
（3）由函數(shù)圖象知，
當x=0或2時，f（x）=x+2．
結(jié)合圖象可得，不等式的解集為{x|x＜0或x＞2}…（12分）

點評：本題考查的知識點是帶絕對值的函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，其中畫出函數(shù)的圖象是解答本題的關(guān)鍵．