Question

已知拋物線y²=2px上有一內(nèi)接正△AOB，O為坐標原點．
（1）求證：點A、B關(guān)于x軸對稱；
（2）求△AOB外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）根據(jù)|OA|=|OB|可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．由于A，B都在拋物線上進而滿足y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，整理可得（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．根據(jù)x₁、x₂與p同號可知x₁+x₂+2p≠0進而可得x₁=x₂．根據(jù)拋物線對稱性，知點A、B關(guān)于x軸對稱．
（2）由（1）可知∠AOx=30°，進而根據(jù)拋物線和直線方程求得點A的坐標，設(shè)外接圓方程把點A代入即可求得d，方程可得．

解答：（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂與p同號，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由拋物線對稱性，知點A、B關(guān)于x軸對稱．
（2）解：由（1）知∠AOx=30°，則y²=2px，x=6p，
∴y=

3

3

x，y=2

3

p．
∴A（6p，2

3

p）．
△AOB外接圓過原點O，且圓心在x軸上，可設(shè)其方程為x²+y²+dx=0．
將點A（6p，2

3

p）代入，得d=-8p．
故△AOB外接圓方程為x²+y²-8px=0．

點評：本題主要考查拋物線的應用和用待定系數(shù)法求得曲線方程的問題．是高考中經(jīng)常考的題目，應加強訓練．