Question

1．請先閱讀：在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的兩邊求導(dǎo)，得（cos2x）′=（2cos²x-1）′，由求導(dǎo)法則，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化簡得等式：sin2x=2cosx•sinx，利用上面的想法（或其他方法），求和$\sum_{k=1}^{n}$3^k-1•k${C}_{n}^{k}$=n•4^n-1．

Answer 1

分析 對二項式定理的展開式兩邊求導(dǎo)數(shù)，令x=3，即可得到結(jié)論．

解答 解：在等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ兩邊對x求導(dǎo)得：
n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，
令x=3可得，n•3^n-1=3⁰•C_n¹+3¹•2C_n²+…+3^n-2•（n-1）C_n^n-1+3^n-1•nC_nⁿ，
即有求和$\sum_{k=1}^{n}$3^k-1•k${C}_{n}^{k}$=n•4^n-1，
故答案為：n•4^n-1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運算法則、考查通過賦值求系數(shù)和問題、考查運算能力．