Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

，b為常數(shù)．
（1）證明：函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)各有一個(gè)；
（2）若函數(shù)f（x）的極大值為1，極小值為-1，試求a的值．

Answer 1

分析：（1）令f′（x）=0得到ax²+2bx-a=0根據(jù)根的判別式得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根設(shè)為x₁，x₂（x₁＜x₂），討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值和極小值各有一個(gè)；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的極大值為1，極小值為-1，所以將x₁，x₂（x₁＜x₂）代入到函數(shù)關(guān)系式中得到兩個(gè)式子，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)可得a的值．

解答：解：（1）證明f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，
令f′（x）=0，得ax²+2bx-a=0（*）
∵△=4b²+4a²＞0，
∴方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，記為x₁，x₂（x₁＜x₂），
則f′（x）=

-a(x-x1)(x-x2)

(x2+1)2

，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

可見(jiàn)，f（x）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)各有一個(gè)．
（2）解：由（1）得

f(x1)= ax1+b x12+1 =-1 f(x2)= ax2+b x22+1 =1

即

ax1+b=-x12-1 ax2+b=x22+1

兩個(gè)方程左右兩邊相加，得a（x₁+x₂）+2b=x₂²-x₁²．
∵x₁+x₂=-

2b

a

，∴x₂²-x₁²=0，
即（x₂+x₁）（x₂-x₁）=0，
又x₁＜x₂，
∴x₁+x₂=0，從而b=0，
∴a（x²-1）=0，得x₁=-1，x₂=1，代入得a=2．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及靈活運(yùn)用一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．