【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,E,F分別為AB的三等分點,,若沿著FG,ED折疊使得點A和B重合,如圖2所示,連結(jié)GC,BD.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)折疊后由于,因此取中點,有,只要再證得與平面內(nèi)的另一條直線垂直即可得線面垂直,從而有面面垂直。為此再取中點,先證,再證得,那么命題由此可證;
(2)以為軸,為軸,建立解析中的空間直角坐標系,寫出各點坐標,求得平面和平面的法向量,由法向量的夾角求得二面角。
(1)取BD,BE的中點分別為O,M,連結(jié)GO,OM,MF.且,又因為且,所以且,故四邊形OGFM為平行四邊形,故.因為M為EB中點,三角形BEF為等邊三角形,故,因為平面EFB平面BCDE,故平面,因此平面,故平面平面BCDE;
(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,
則,,,
設(shè)平面CDG的法向量為,
則,即,
令得;
設(shè)平面CBG的法向量為,
則,
即,
令得.
,
故二面角的余弦值為.
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【題目】已知曲線.
(1)用函數(shù)的形式表示曲線;
(2)若直線與曲線有兩個公共點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若點的坐標為,為曲線上的點,求的最小值.
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【題目】已知(e為目然對數(shù)的底數(shù)).
(1)設(shè)函數(shù),求函數(shù)的最小值;
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某教師為了分析所任教班級某次考試的成績,將全班同學的成績作成統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[50,60) | 3 | 0.06 |
[60,70) | m | 0.10 |
[70,80) | 13 | n |
[80,90) | p | q |
[90,100] | 9 | 0.18 |
總計 | t | 1 |
(1)求表中t,q及圖中a的值;
(2)該教師從這次考試成績低于70分的學生中隨機抽取3人進行談話,設(shè)X表示所抽取學生中成績低于60分的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知條件P:①是奇函數(shù);②值域為R;③函數(shù)圖象經(jīng)過第四象限。則下列函數(shù)中滿足條件Р的是( )
A.B.C.D.
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【題目】據(jù)報道,全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點,一時間“英語考試該如何改革”引起廣泛關(guān)注,為了解某地區(qū)學生和包括老師、家長在內(nèi)的社會人士對高考英語改革的看法,某媒體在該地區(qū)選擇了3600人進行調(diào)查,就“是否取消英語聽力”問題進行了問卷調(diào)查統(tǒng)計,結(jié)果如下表:
態(tài)度 調(diào)查人群 | 應(yīng)該取消 | 應(yīng)該保留 | 無所謂 |
在校學生 | 2100人 | 120人 | 人 |
社會人士 | 600人 | 人 | 人 |
(1)已知在全體樣本中隨機抽取人,抽到持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為,現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取人進行問卷訪談,問應(yīng)在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人?
(2)在持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取人,再平均分成兩組進行深入交流,求第一組中在校學生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】我們把定義在上,且滿足(其中常數(shù)、滿足,,)的函數(shù)叫做似周期函數(shù).
(1)若某個似周期函數(shù)滿足且圖象關(guān)于直線對稱,求證:函數(shù)是偶函數(shù);
(2)當,時,某個似周期函數(shù)在時的解析式為,求函數(shù),,的解析式;
(3)對于(2)中的函數(shù),若對任意,都有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列滿足.
(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,若,且對任意的正整數(shù)n,都有,求整數(shù)的值;
(3)設(shè)數(shù)列滿足,若,且存在正整數(shù)s,t,使得是整數(shù),求的最小值.
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