Question

18．已知函數(shù)f（x）=2cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+4cos²x-1，且f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{5}$，求sin（α+$\frac{3π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)可得：f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{5}$，解得cosα=-$\frac{3}{5}$，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求sinα，利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可得解．

解答 解：∵f（x）=2cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+4cos²x-1=-2cos（$\frac{π}{3}$-2x）+2（1+cos2x）-1=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=2cos[2（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]+1=2cosα+1=-$\frac{1}{5}$，解得：cosα=-$\frac{3}{5}$，sin$α=±\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=±$\frac{4}{5}$．
∴當(dāng)sin$α=\frac{4}{5}$時(shí)，sin（α+$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
當(dāng)sin$α=-\frac{4}{5}$時(shí)，sin（α+$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，同角三角函數(shù)關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．