Question

6．過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和此拋物線頂點(diǎn)O的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．求證：
（1）y₁y₂=-p²，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）直線MB平行于此拋物線的對(duì)稱軸．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線為x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，代入拋物線y²=2px，得到y(tǒng)²-2pky-p²=0，由韋達(dá)定理得結(jié)論；
（2）證明M，B的縱坐標(biāo)相同即可．

解答 證明：（1）拋物線y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0）
設(shè)直線為x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，
代入拋物線y²=2px得：
y²=2p（ky+$\frac{p}{2}$），即y²-2pky-p²=0
由韋達(dá)定理得：y₁•y₂=-p²；x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）直線OA的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，x=-$\frac{p}{2}$時(shí)，y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{p}{2}$=-y₂，
∴直線MB平行于此拋物線的對(duì)稱軸．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線之間的關(guān)系，利用方程聯(lián)立得到方程，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論是關(guān)鍵．