Question

已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2，
（Ⅰ）對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，可化為a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+

2

x

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=xlnx+x，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，可得x=

1

e2

．對(duì)m分類討論：當(dāng)0＜m＜

1

e2

時(shí)，及當(dāng)m≥

1

e2

時(shí)，分別研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，即a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）上恒成立．
令F（x）=lnx+x+

2

x

，
則F′（x）=

(x+2)(x-1)

x2

，
在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，
因此，F(xiàn)（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F_min（x）=F（x）=3，
∴a≤3．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=xlnx+x，
f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，解得x=

1

e2

．
①當(dāng)0＜m＜

1

e2

時(shí)，在x∈[m，

1

e2

）上f′（x）＜0；在x∈（

1

e2

．m+3]上f′（x）＞0．
因此，f（x）在x=

1

e2

處取得極小值，也是最小值．f_min（x）=-

1

e2

．
由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0．
②當(dāng)m≥

1

e2

，f′（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（m）=m（lnm+1）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．