Question

（2013•龍泉驛區(qū)模擬）已知函數f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量

m

=(1，sinA)與

n

=(2，sinB)共線，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為 sin（2x-

π

6

）-1，由此求出最小值和周期．
（Ⅱ）由f（C）=0可得sin（2C-

π

6

）=1，再根據C的范圍求出角C的值，根據兩個向量共線的性質可得 sinB-2sinA=0，再由正弦定理可得 b=2a．再由余弦定理得9=a2 +b2-2abcos

π

3

，求出a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小值為-2，最小正周期為π．…（5分）
（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即  sin（2C-

π

6

）=1，
又∵0＜C＜π，-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．  …（7分）
∵向量

m

=(1，sinA)與

n

=(2，sinB)共線，∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理  

a

sinA

=

b

sinB

，得 b=2a，①…（9分）
∵c=3，由余弦定理得9=a2 +b2-2abcos

π

3

，②…（11分）
解方程組①②，得 a=

3

 b=2

3

．       …（13分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，正弦函數的周期性、定義域和值域，兩個向量共線的性質，正弦定理、余弦定理的應用，屬于中檔題．