Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實(shí)常數(shù)）
（1）判斷f（x）的奇偶性，并給出證明；
（2）若a＞0，設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）為偶函數(shù)．運(yùn)用奇偶性的定義，先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計算f（-x），與f（x）比較，即可得到結(jié)論；
（2）寫出f（x）的表達(dá)式，求得對稱軸方程，討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性，即可得到最小值．

解答： 解：（1）f（x）為偶函數(shù)．
理由如下：定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f（-x）=ax²-|-x|+2a-1=ax²-|x|+2a-1=f（x）
則f（x）為偶函數(shù)；                                   
（2）x∈[1，2]⇒f（x）=ax²-x+2a-1，對稱軸為x=

1

2a

，
(I)

1

2a

≤1⇒a≥

1

2

時，f（x）_min=f（1）=3a-2，
(II)

1

2a

≥2⇒0＜a≤

1

4

時，f（x）_min=f（2）=6a-3；
（ⅲ）當(dāng)1＜

1

2a

＜2，即

1

4

＜a＜

1

2

時，f(x)min=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1．
綜上 g(a)=

3a-2，a≥ 1 2 6a-3，0＜a≤ 1 4 2a- 1 4a -1， 1 4 ＜a＜ 1 2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，注意討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中點(diǎn)他和易錯題．