Question

已知點P（x，y）為圓C：x²+y²-4x+3=0上一點，C為圓心．
（1）求x²+y²的取值范圍；
（2）求

y

x

的最大值；
（3）求

PC

•

PO

（O為坐標(biāo)原點）的取值范圍．

Answer 1

考點：圓方程的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心與半徑，作出相應(yīng)的圖形，所求式子表示圓上點到原點距離的平方，從而求x²+y²的取值范圍；
（2）令

y

x

=k，則y=kx，代入圓的方程，利用△≥0，求

y

x

的最大值；
（3）

PC

•

PO

=（2-x，-y）•（-x，-y）=x²+y²-2x=2x-3，即可求

PC

•

PO

（O為坐標(biāo)原點）的取值范圍．

解答： 解：（1）圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=1，圓心為（2，0），半徑為1
根據(jù)圖形得到P與A（3，0）重合時，離原點距離最大，此時x²+y²=3²=9，P與B（1，0）重合時，離原點距離最大，此時x²+y²=1²=1．
∴x²+y²的取值范圍是[1，9]；
（2）令

y

x

=k，則y=kx．    
代入圓的方程，整理得（1+k²）x²-4x+3=0．    
依題意有△=16-12（1+k²）=4-12k²=4（1-3k²）≥0，即k²-

1

3

≤0，
解得-

3

3

≤k≤

3

3

，
 故

y

x

的最大值是

3

3

；
（3）

PC

•

PO

=（2-x，-y）•（-x，-y）=x²+y²-2x=2x-3，
∵1≤x≤3，
∴-1≤2x-3≤3，
∴

PC

•

PO

（O為坐標(biāo)原點）的取值范圍是[-1，3]．

點評：本小題主要考查直線和圓相交，相切的有關(guān)性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力，屬于中檔題．