Question

如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=

3

2

，一曲線E過(guò)點(diǎn)C，且曲線E上任一點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離之和不變．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線E上的一動(dòng)點(diǎn)，求線段QA中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）設(shè)M，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，直線CM和CN的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線MN的斜率是否為定值．如果是，求這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）若點(diǎn)D是曲線E上的任一定點(diǎn)（除曲線E與直線AB的交點(diǎn)），M，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，直線DM和DN的傾斜角互補(bǔ)，直線MN的斜率是否為定值呢？如果是，請(qǐng)你指出這個(gè)定值．（本小題不必寫(xiě)出解答過(guò)程）

Answer 1

分析：（1）由于曲線E上任一點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離之和不變，所以其軌跡是橢圓，求方程先建立坐標(biāo)系，從而可求；
（2）先假設(shè)線段QA中點(diǎn)的坐標(biāo)P，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出P，Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合（1）求出線段QA中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）由于直線CM和CN的傾斜角互補(bǔ)，所以可設(shè)直線CM和CN的斜率分別為k，-k，再結(jié)合M，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，可知直線MN的斜率是定值；
（4）利用極限位置考慮：當(dāng)直線DM和DN的傾斜角都為90°時(shí)，直線MN即為D'（a，-b）處的切線．

解答：解：（1）以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
∵|CA|+|CB|=4[（1分）]
不難知道：曲線E是以A，B為兩焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．
故曲線E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）設(shè)線段QA的中點(diǎn)為P（x，y），∵A（-1，0），
∴Q（2x+1，2y）[（5分）]
∵點(diǎn)Q在曲線E上，故可得：

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1[（7分）]
即線段QA中點(diǎn)的軌跡方程為(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1[（8分）]
（3）設(shè)直線CM和CN的斜率分別為k，-k
直線CM的直線方程為y-

3

2

=k(x+1)
代入曲線E的方程，得(3+4k2)x2+8k(k+

3

2

)x+4k2+12k-3=0[（9分）]
由韋達(dá)定理：xC•xM=

4k2+12k-3

3+4k2

，
∴xM=-

4k2+12k-3

3+4k2

同理xN=-

4k2-12k-3

3+4k2

[（10分）]
而yM-

3

2

=k(xM+1)，yN-

3

2

=-k(xN+1)
∴kMN=

yM-yN

xM-xN

=

k(xM+xN+2)

xM-xN

=

12k 3+4k2

24k 3+4k2

=

1

2

故直線MN的斜率為定值

1

2

[（12分）]
（4）設(shè)D（a，b），當(dāng)直線DM和DN的傾斜角都為90°時(shí)，直線MN即為D'（a，-b）處的切線，則直線MN的斜率為定值

3a

4b

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查曲線軌跡方程的求解，涉及定義法、代入法等，同時(shí)解決了定值問(wèn)題．