Question

已知正數(shù)x、y滿足xy=x+y+3．
（1）求xy的范圍；
（2）求x+y的范圍．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)x+y≥2

xy

，將xy=x+y+3中的x+y消去，然后解不等式可求出xy的范圍，注意等號成立的條件；
（2）根據(jù)xy≤(

x+y

2

)2，將xy=x+y+3中的xy消去，然后解不等式可求出x+y的范圍，注意等號成立的條件．

解答： 解：（1）∵正數(shù)x、y滿足x+y+3=xy，
∴xy=x+y+3≥3+2

xy

，即xy-2

xy

-3≥0，可以變形為（

xy

-3）（

xy

+1）≥0，
∴

xy

≥3，即xy≥9，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時取等號，
∴xy的范圍是[9，+∞）；
（2）∵x、y均為正數(shù)，
∴x+y≥2

xy

，則xy≤(

x+y

2

)2，
∴x+y+3=xy≤(

x+y

2

)2，即（x+y）²-4（x+y）-12≥0，
化簡可得，（x+y+2）（x+y-6）≥0，
∴x+y≥6，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時取等號，
∴x+y的范圍是[6，+∞）．

點評：本題考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．在應(yīng)用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點在于如何合理正確的構(gòu)造出定值．屬于中檔題．