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已知函數f(x)=
x
x+1
,若數列{an}(n∈N*)滿足:a1=1,an+1=f(an).
(Ⅰ)證明數列{
1
an
}為等差數列,并求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設數列{cn}滿足:cn=
2n
an
,求數列{cn}的前n項的和Sn
考點:數列的求和,數列的函數特性,等差關系的確定
專題:計算題,等差數列與等比數列
分析:(Ⅰ)f(x)=
x
x+1
⇒an+1=f(an)=
an
an+1
=
1
1
an
+1
,于是可得
1
an+1
-
1
an
=1,又a1=1,從而可證數列{
1
an
}為等差數列,并求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,cn=
2n
an
=
2n
1
n
=n•2n,利用錯位相減法即可求得數列{cn}的前n項的和Sn
解答: 解:(Ⅰ)∵f(x)=
x
x+1
,
∴an+1=f(an)=
an
an+1
=
1
1
an
+1
. 
1
an+1
-
1
an
=1,又a1=1,
∴數列{
1
an
}是首項為1,1為公差的等差數列,
∴an=
1
n

(Ⅱ)∵cn=
2n
an
=
2n
1
n
=n•2n,
∴Sn=1×2+2×22+…+n•2n,①
2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n•2n+1,②
②-①得:
Sn=-2-22-23-…-2n+n•2n+1
=-
2(1-2n)
1-2
+n•2n+1
=(n-1)2n+1+2.
點評:本題考查數列的求和,著重考查等差關系的確定與錯位相減法求和,判定數列{
1
an
}是等差數列是關鍵,也是難點,考查轉化與運算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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直線2x-y-1=0與圓(x-1)2+y2=2的位置關系為
 

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b
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,若
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(1)2007年該企業(yè)的利潤是多少?
(2)寫出2008年預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式;
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x2
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(1)求xy的范圍;
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