Question

已知函數(shù)f（x）=2x²，g（x）=alnx（a∈R）．
（1）設(shè)a＞0，若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令h（x）=

1

2

xf（x）-3x²g′（x），若h（x）在（-2，2）內(nèi)的值域為閉區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，n≥2，n∈N⁺）．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)列的求和

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）≥g（x）恒成立?f（x）-g（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立．令μ（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)μ（x）的最小值，即可求得結(jié)論；
（2）由于h（x）=x³-3ax，則h′（x）=3x²-3a，令h′（x）=0得到x=±

a

，由于h（x）在（-2，2）內(nèi)的值域為閉區(qū)間，則

a

＜2，即得實數(shù)a的取值范圍；
（3）構(gòu)造函數(shù)H（x）=

lnx

x2

，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可不等式

lnx

x2

≤

1

2e

都成立，得到對x∈（0，+∞）此利用放縮法及裂項法，即可證得結(jié)論．

解答： （1）解：f（x）≥g（x）恒成立?f（x）-g（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立．
令μ（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx（x＞0），則μ′（x）=4x-

a

x

=

4(x- a 2 )(x+ a 2 )

x

，
∴μ′（x）＜0?0＜x＜

a

2

；μ′（x）＞0?x＞

a

2

．
所以μ（x）在（0，

a

2

）內(nèi)單調(diào)遞減，在（

a

2

，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
因此μ（x）_min=μ（

a

2

）=2(

a

2

)2-aln

a

2

≥0?ln

a

2

≤

1

2

?a≤4e．
故所求的實數(shù)a的取值范圍為（0，4e]．
（2）解：h（x）=

1

2

xf（x）-3x²g′（x）=x³-3ax，由題意，h（x）=x³-3ax在（-2，2）上的最大值和最小值均在（-2，2）的內(nèi)部取得．而（-2，2）上的最大值和最小值同時又是極大值和極小值．
這說明：方程h′（x）=3x²-3a=0的兩個實根均在（-2，2）內(nèi)．
顯然a＞0，兩個實根x=±

a

，
h（x）在（-2，-

a

）上單調(diào)遞增，在（-

a

，

a

）上單調(diào)遞減，在（

a

，2）上單調(diào)遞增．
實數(shù)a滿足不等式組

a＞0 - a ＞-2 a ＜2 h(- a )≥h(2) h( a )≤h(-2)

，即

0＜a＜4 2a a ≥8-6a -2a a ≤6a-8

解得1≤a＜4．
故所求的實數(shù)a的取值范圍為[1，4）．
（3）證明：設(shè)函數(shù)H（x）=

lnx

x2

，則H′（x）=

1-2lnx

x3

．
令H′（x）=0，得x=

e

．
當(dāng)x∈（0，

e

）時，H′（x）＞0，故函數(shù)H（x）在（0，

e

）上遞增；
當(dāng)x∈（

e

，+∞）時，H′（x）＜0，故函數(shù)H（x）在（

e

，+∞）上遞減；
所以H（x）≤H（

e

）=

ln e

( e )2

=

1

2e

，
對任意的x＞0，不等式

lnx

x2

≤

1

2e

都成立．
故有

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

．
當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立；
當(dāng)n≥2時，有：

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

=0+

ln2

22

•

1

22

+

ln3

32

•

1

32

+…+

lnn

n2

•

1

n2

≤

1

2e

（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜

1

2e

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)•n

）
=

1

2e

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=

1

2e

（1-

1

n

）＜

1

2e

∴

ln24

24

+

ln34

34

+…+

ln4

n4

＜

1

2e

×4=

2

e

．
綜上可知，對任意的n∈N^*，不等式

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)、確定函數(shù)的單調(diào)性．