Question

（2010•舟山模擬）將24個志愿者名額分配給3個學校，則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有

222

種．

Answer 1

分析：“每校至少有一個名額的分法”相當于在24個名額之間的23個空隙中選出2個空隙插入分割符號，則有253種方法，再列舉出“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法，進而得到滿足題中條件的分配方法．

解答：解：用4條棍子間的空隙代表3個學校，而用*表示名額．
如|****|*…*|**|表示第一、二、三個學校分別有4，18，2個名額．
若把每個“*”與每個“|”都視為一個位置，由于左右兩端必須是“|”，故不同的分配方法相當于24+2=26個位置（兩端不在內）被2個“|”占領的一種“占位法”．
“每校至少有一個名額的分法”相當于在24個“*”之間的23個空隙中選出2個空隙插入“|”，故有C₂₃²=253種．
又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法有（1，1，22），（2，2，20），（3，3，18），（4，4，16），（5，5，14），
（6，6，12），（7，7，10），（8，8，8），（9，9，6），（10，10，4），（11，11，2）共有10C₃¹+1=31種．
∴每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有253-31=222種．
故答案為：222．

點評：本題主要考查排列組合與計數(shù)原理的有關知識點，解決此類問題的方法是：特殊元素與特殊位置優(yōu)先的原則，插空法，捆綁法等方法，在解決問題時有時也運用正難則反的解題得思想方法，本題在計數(shù)時采取了排除的技巧，由于所研究的對象較為復雜，采取了列舉法，這是較復雜問題計數(shù)常用的一種方法．