Question

5．在△ABC中，面積S=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{4}$，且2sinBsinC=sinA，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 利用三角形面積公式及余弦定理化簡已知等式可得$\sqrt{2}$sin（C-$\frac{π}{4}$）=0，結(jié)合C的范圍即可求C的值，又根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得sin（B-$\frac{π}{4}$）=0，結(jié)合B的范圍即可求得B的值，再利用三角形內(nèi)角和公式即可求A的值，從而得解．

解答 解：∵由題意可得：$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2abcosC}{4}$，整理可得：$\sqrt{2}$sin（C-$\frac{π}{4}$）=0，
∵0＜C＜π，-$\frac{π}{4}$＜C-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴解得C=$\frac{π}{4}$，
又∵2sinBsinC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴$\sqrt{2}$sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosB，整理可得：sin（B-$\frac{π}{4}$）=0，
∵0$＜B＜\frac{3π}{4}$，即可解得B=C=$\frac{π}{4}$，
∴A=π-B-C=$\frac{π}{2}$，
故三角形為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形面積公式及余弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和公式及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．