Question

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=

1

2

EF=2

2

，AF=BE=2，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AM⊥平面ADF；
（Ⅲ）求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）連結(jié)AC，證明PQ∥EC，利用直線與平面平行的判定定理證明PQ∥平面BCE；
（II）直接利用直線與平面垂直的判定定理證明AM⊥平面ADF；
（III）通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，通過空間向量的數(shù)量積求出二面角A-DF-E的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）連結(jié)AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，
Q為BD的中點(diǎn)，所以Q為AC的中點(diǎn)，
又在△AEC中，P為AE的中點(diǎn)，∴PQ∥EC，
∵EC?平面BCE中，PQ?平面BSE，
∴PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，∴EM=AB=2

2

，
又∵EF∥AB，∴四邊形ABEM是平行四邊形，
又AF=2，MF=2

2

，∴△MAF是直角三角形，∠MAF=90°，
∴MA⊥AF，
∵DA⊥面ABEF，MA?平面ABEF，∴MA⊥DA，
又∵DA∩AF=A，
∴AM⊥平面ADF；

（Ⅲ）如圖，以A坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），D（0，0，1），M（2，0，0），F(xiàn)（0，2，0）．
可得

AM

=（2，0，0），

MF

=(-2，2，0)，

DF

=(0，2，0)，
設(shè)平面DEF的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • DF =0 n • MF =0

故

2y-z=0 -2x+2y=0

令x=1，則y=1，z=2故

n

=(1，1，2)．
∵AM⊥平面ADF，
所以

AM

為平面ADF的一個(gè)法向量，
所以cos＜

n

，

AM

＞=

n • AM

| n || AM |

=

2×1+0×1+0×2

6 ×2

=

6

6

，
所以所求二面角A-DF-E的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力．