Question

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點．
（I）求證：PQ∥平面BCE；
（II）求證：AM⊥平面ADF；
（III）求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）連結(jié)AC，因為四邊形ABCD是矩形，
Q為BD的中點，所以Q為AC的中點，
又在△AEC中，P為AE的中點，∴PQ∥EC，
∵EC?平面BCE中，PQ?平面BSE，
∴PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）∵M為EF的中點，∴EM=AB=2，
又∵EF∥AB，∴四邊形ABEM是平行四邊形，
又AF=2，MF=2，∴△MAF是直角三角形，∠MAF=90°，
∴MA⊥AF，
∵DA⊥面ABEF，MA?平面ABEF，∴MA⊥DA，
又∵DA∩AF=A，
∴AM⊥平面ADF；

（Ⅲ）如圖，以A坐標原點，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），D（0，0，1），M（2，0，0），F(xiàn)（0，2，0）．
可得=（2，0，0），，，
設(shè)平面DEF的法向量為=（x，y，z），
則故
令x=1，則y=1，z=2故．
∵AM⊥平面ADF，
所以為平面ADF的一個法向量，
所以，
所以所求二面角A-DF-E的余弦值為．
分析：（I）連結(jié)AC，證明PQ∥EC，利用直線與平面平行的判定定理證明PQ∥平面BCE；
（II）直接利用直線與平面垂直的判定定理證明AM⊥平面ADF；
（III）通過建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，通過空間向量的數(shù)量積求出二面角A-DF-E的余弦值．
點評：本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力與計算能力．