Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-a|x-1|．
（1）若y=f（x）是偶函數(shù)，求a的值；
（2）當a＜0時，直接寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間（不需給出演算步驟）；
（3）當a＞0時，求函數(shù)y=f（x），x∈[0，4]的最小值g（a）和最大值h（a）．

Answer 1

分析 （1）由偶函數(shù)的定義即可得到a|x-1|=a|x+1|，要使該等式恒成立顯然a=0；
（2）去絕對值號f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a}&{x≥1}\\{{x}^{2}+ax-a}&{x＜1}\end{array}\right.$，討論對稱軸和1的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a}&{x≥1}\\{{x}^{2}+ax-a}&{x＜1}\end{array}\right.$，討論對稱軸和1及區(qū)間[0，4]的關(guān)系即可判斷f（x）在[0，4]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出每種情況下的函數(shù)f（x）的最小值和最大值，從而便可得出g（a），h（a）．

解答 解：（1）f（x）是偶函數(shù)；
∴f（-x）=x²-a|x+1|=x²-a|x-1|；
∴a|x+1|=a|x-1|；
|x+1|=|x-1|不能恒成立；
∴a=0；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a}&{x≥1}\\{{x}^{2}+ax-a}&{x＜1}\end{array}\right.$；
①-2＜a＜0時，增區(qū)間為（$-\frac{a}{2}，+∞$），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，$-\frac{a}{2}$）；
②a≤-2時，增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（-∞，1）；
（3）①0＜a≤2時，f（x）在[0，4]上單調(diào)遞增；
∴f（x）_min=f（0）=-a，f（x）_max=16-3a；
②2＜a＜8時，f（x）在[0，1]，（$\frac{a}{2}$，4]上單調(diào)遞增，在（1，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞減；
∴$f（x）_{min}=min\{f（0），f（\frac{a}{2}）\}$=$min\{-a，a-\frac{{a}^{2}}{4}\}=-a$；
f（x）_max=max{f（1），f（4）}=max{1，16-3a}=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{5≤a＜8}\\{16-3a}&{2＜a＜5}\end{array}\right.$；
③a≥8時，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在（1，4]上單調(diào)遞減；
∴f（x）_min=min{f（0），f（4）}=min{-a，16-3a}=16-3a；
f（x）_max=f（1）=1；
綜上得$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{-a}&{0＜a＜8}\\{16-3a}&{a≥8}\end{array}\right.$，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{16-3a}&{0＜a＜5}\\{1}&{a≥5}\end{array}\right.$．

點評 考查偶函數(shù)的定義，含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，以及分段函數(shù)最值的求法．