Question

9．已知函數f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$），ω＞0，f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）有最小值無最大值，則?的值為（　�。�

• A． $\frac{14}{3}$
• B． $\frac{13}{3}$
• C． $\frac{3}{14}$
• D． $\frac{3}{13}$

Answer 1

分析 由題意利用正弦函數的圖象特征可得當x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取得最小值，即ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，由此求得ω的值．

解答 解：由f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），可得f（x）的圖象關于直線x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{π}{4}$ 對稱，
故有ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，∴ω=4k+$\frac{2}{3}$．
又f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）有最小值無最大值，故當x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取得最小值，
故有有ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，∴ω=8k+$\frac{14}{3}$．
因為$\frac{π}{4}$恰好為區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）的中點，故$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$≤$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$，∴0＜ω≤12，
故只有當k=0時，ω=$\frac{14}{3}$滿足條件，
故選：A．

點評 本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質，求得ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，是關鍵，也是難點，還考查理解與運算能力，屬于中檔題．