Question

已知向量=，=，函數f（x）=•．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）在銳角△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足，求f（2B）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數量積公式化簡 函數f（x）=的解析式為 sin（+）+，可得函數的最小正周期4π．令 2kπ+≤+≤2kπ+，k∈z，求得 x的范圍，即可求得故函數的單調減區(qū)間．
（Ⅱ）由余弦定理化簡可得b²+c²-a²=bc，可得cosA=，求得 A=，可得B+C=，再由三角形為銳角三角形可得 ＜B+＜，再根據正弦函數的定義域和值域求得f（2B）=sin（B+）+ 的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）==sincos+=sin++=sin（+）+，
故函數的最小正周期為 =4π．
令 2kπ+≤+≤2kπ+，k∈z，求得  4kπ+≤x≤4kπ+，k∈z，
故函數的單調減區(qū)間為[4kπ+，4kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）在銳角△ABC中，∵，由余弦定理可得 a•+=b．
化簡可得b²+c²-a²=bc，∴cosA==，∴A=．
∴B+C=，∴-=＜B＜，∴＜B+＜，∴＜sin（B+）≤1
f（2B）=sin（B+）+∈（ ，]，即f（2B）的取值范圍為（ ，]．
點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式的應用，兩角和差的正弦函數，余弦定理的應用，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．