Question

已知f（x）=sin（-2x+

π

6

）+

3

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間．
（2）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)f（x）=sin（-2x+

π

6

）+

3

2

，可得函數(shù)的周期，即函數(shù) y=sin（2x-

π

6

）的減區(qū)間．令

π

2

+2kπ＜2x-

π

6

＜

3π

2

+2kπ，求得x的范圍，可得f（x）的增區(qū)間．
（2）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（-2x+

π

6

）+

3

2

=-sin（2x-

π

6

）+

3

2

，
∴函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間即函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的減區(qū)間．
令

π

2

+2kπ＜2x-

π

6

＜

3π

2

+2kπ，解得kπ+

π

3

＜x＜kπ+

5π

6

，k∈z．
故f（x）的增區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．
（2）把函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象向左平移

π

12

個單位，可得函數(shù)y=sin2（x+

π

12

）=sin（2x+

π

6

）的圖象；
再把所得圖象向上平移

3

2

個單位，可得函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的圖象；
再把所得圖象向關(guān)于y軸對稱，可得函數(shù)y=sin（-2x+

π

6

）+

3

2

的圖象．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．