Question

設函數(shù)f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n為正整數(shù)，a，b為常數(shù)，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y=1
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析：由f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，再由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=1，可得f'（1）=-1，f（1）=0，則f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，由此能求出函數(shù)f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=-axⁿ（x-1）+b=axⁿ-axⁿ⁺¹+b，
∴f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，
由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=1，
可得f'（1）=-1，f（1）=0，
∴a=1，b=0．
（2）由（1）可知f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，
故f′（x）=-（n+1）xn（x-

n

n+1

），令f'（x）=0，得x=

n

n+1

當x∈（0，

n

n+1

），f′（x）＞0，當x∈（

n

n+1

，+∞），f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）在（0，

n

n+1

）上單調遞增；在（

n

n+1

，+∞）上單調遞減，
∴f（x）在（0，+∞）上最大值為f（

n

n+1

）=(

n

n+1

)n(1-

n

n+1

)=

nn

(n+1)n+1

點評：本題考查函數(shù)的最大值的求法，正確求出解析式進而求對導函數(shù)得出函數(shù)的單調性是解決問題的關鍵，屬中檔題．