Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2處取得極值，并且它的圖象與直線y=-3x+3在點(diǎn)（1，0）處相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m有三個(gè)不同的是根，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用已知條件得到方程組即可求出a、b、c，然后求f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷f（x）的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m有三個(gè)不同的是根，求出函數(shù)的極值，然后求m的值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）在x=-2時(shí)取得極值，
∴f′（-2）=0，即12-4a+b=0①，
∵函數(shù)圖象與直線y=-3x+3切于點(diǎn)P（1，0）．
∴f′（1）=-3，即 3+2a+b=-3②，
由f（1）=0，即 1+a+b+c=0③，
由①②③解得a=1，b=-8，c=6；
（2）由（1）知，f（x）=x³+x²-8x+6，f′（x）=3x²+2x-8=（3x-4）（x+2），
由f′（x）＞0得，x＜-2或x＞

4

3

，由f′（x）＜0得，-2＜x＜

4

3

，
所以f（x）在（-∞，-2）和（

4

3

，+∞）上遞增，在（-2，

4

3

）上遞減，
（3）由（2）知，當(dāng)x=-2時(shí)f（x）取得極大值f（-2）=18，
當(dāng)x=

4

3

時(shí)f（x）取得極小值f（

4

3

）=-

62

27

，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程f（x）=m有三個(gè)不同實(shí)根，所以函數(shù)y=f（x）和y=m圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
所以-

62

27

＜m＜18，即為m的取值范圍．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的極值，考查分析問題解決問題的能力．