Question

如圖，在矩形OABC中，O為原點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，6）．
（1）求∠BOA的余弦值；
（2）若點(diǎn)P、Q分別為線段OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且BQ=OP，連接PQ，設(shè)OP=x．
①連接CQ，求當(dāng)△OPQ與△CQB相似時(shí)x的值．
②當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)

專題：立體幾何

分析：（1）由矩形OABC中，O為原點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，6），可得OB長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的定義，求∠BOA的余弦值；
（2）當(dāng)△OPQ與△CQB相似時(shí)，

BQ

OP

=

BC

OQ

，即

x

x

=

8

10-x

，解方程得x的值．
②當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，不妨令OP=OQ，即x=10-x，解得x的值．

解答： 解：（1）∵矩形OABC中，O為原點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，6）．
∴OB=

82+62

=10，
故cos∠BOA=

OA

OB

=

8

10

=

4

5

，
（2）①∵BQ=OP，OP=x，
∴OQ=10-x，
若△OPQ∽△BQC，則

BQ

OP

=

BC

OQ

，
即

x

x

=

8

10-x

，
解得：x=2，
②當(dāng)OP=OQ，即x=10-x，△OPQ為等腰三角形，則x=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，等腰三角形的定義，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．