Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= ，連接CE并延長交AD于F

（1）求證：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△DAB中，E為BD的中點，EA=EB=AB=1，

∴AE= BD，可得∠BAD= ，且∠ABE=∠AEB=

∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，從而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=

∴∠EDA=∠EAD= ，可得EF⊥AD，AF=FD

又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位線，可得FG∥PA

∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，

∵AD平面ABCD，∴FG⊥AD

又∵EF、FG是平面CFG內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面CFG

（2）解：以點A為原點，AB、AD、PA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖直角坐標(biāo)系，可得

A（0，0，0），B（1，0，0），C（ ， ，0），D（0， ，0），P（0，0， ）

∴ =（ ， ，0）， =（﹣ ，﹣ ， ）， =（﹣ ， ，0）

設(shè)平面BCP的法向量 =（1，y1，z1），則

解得y1=﹣ ，z1= ，可得 =（1，﹣ ， ），

設(shè)平面DCP的法向量 =（1，y2，z2），則

解得y2= ，z2=2，可得 =（1， ，2），

∴cos＜ ， ＞= = =

因此平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值等于﹣cos＜ ， ＞=﹣ ．

【解析】（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD= ，且∠ABE=∠AEB= ．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，從而得到∠FED=∠FEA= ，所以EF⊥AD且AF=FD，結(jié)合題意得到FG是△PAD是的中位線，可得FG∥PA，根據(jù)PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證出AD⊥平面CFG；（2）以點A為原點，AB、AD、PA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖直角坐標(biāo)系，得到A、B、C、D、P的坐標(biāo)，從而得到 、 、 的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出 =（1，﹣ ， ）和 =（1， ，2）分別為平面BCP、平面DCP的法向量，利用空間向量的夾角公式算出 、 夾角的余弦，即可得到平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題．