Question

證明：

x

x+1

＜ln（1+x）＜x（x＞0）（x＞0）．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：要證不等式ln（x+1）＞

x

x+1

恒成立，只需證（x+1）ln（x+1）-x＞0成立，構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在x＞0時單調(diào)遞增，從而得到f（x）＞f（0）=0，即（x+1）ln（x+1）-x＞0成立；令f（x）=x-ln（x+1），根據(jù)它的導(dǎo)數(shù)的符號可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）＞0，從而證得不等式．

解答： 證明：∵x＞0，
∴要證ln（x+1）＞

x

x+1

，
只需證（x+1）ln（x+1）＞x，
即證（x+1）ln（x+1）-x＞0，
令f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，
則f′（x）=ln（x+1）+1-1=ln（x+1），
∵x＞0，
∴l(xiāng)n（x+1）＞ln1=0，
即f′（x）＞0，
∴f（x）在x＞0時單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（0）=0
∴（x+1）ln（x+1）-x＞0成立，
∴

x

x+1

＜ln（1+x）．
令f（x）=x-ln（x+1），則它的導(dǎo)數(shù)為 f′（x）=1-

1

1+x

．
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
故有f（x）=x-ln（x+1）＞0，∴l(xiāng)n（x+1）≤x．
∴

x

x+1

＜ln（1+x）＜x（x＞0）．

點評：本題考查不等式的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，屬于中檔題．