（1）判斷函數(shù)在x∈（0，+∞）上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（2）猜想函數(shù)在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的單調(diào)性。（只需寫出結(jié)論，不用證明）
（3）利用題（2）的結(jié)論，求使不等式在x∈[1，5]上恒成立時(shí)的實(shí)數(shù)m的取值范圍。
解：（1）在(0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞)上是增函數(shù)。
證明：設(shè)任意，
則，
又設(shè)，則，∴；
∴在(0，2]上是減函數(shù)；
又設(shè)，則，∴，
∴在[2，+∞)上是增函數(shù)。
（2）由（1）及f(x)是奇函數(shù)，可猜想：f(x)在和上是增函數(shù)， f(x)在和上是減函數(shù)。
（3）∵在x∈[1，5]上恒成立，
∴x∈[1，5]上恒成立，
由（2）中結(jié)論，可知函數(shù)在x∈[1，5]上的最大值為10，此時(shí)x=1，
要使原命題成立，當(dāng)且僅當(dāng)，
∴，解得：m＜-2或，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m＜-2或}。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：
①函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；
②在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
a
2
，且最大值是
b
2
．請(qǐng)解答以下問題
（1）判斷函數(shù)f(x)=x+
2
x
(x∈(0，+∞))是否屬于集合M？并說明理由；
（2）判斷函數(shù)g（x）=-x3是否屬于集合M？并說明理由．若是，請(qǐng)找出滿足②的閉區(qū)間[a，b]；
（3）若函數(shù)h(x)=
x-1
+t∈M，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）構(gòu)成的：對(duì)于任意的，且u、υ∈（-1，1），都有|f（u）-f（υ）|≤3|u-υ|．
（1）判斷函數(shù)f1(x)=
1+x2
是否在集合A中？并說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx，且f（x）∈A，試求2a+b的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若f（2）=6，且對(duì)于滿足（2）的每個(gè)實(shí)數(shù)a，存在最小的實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x∈[m，2]時(shí)，|f（x）|≤6恒成立，試求用a表示m的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A是同時(shí)符合以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的集合：
①?x∈[0，+∞），都有f（x）∈（1，4]；②f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f1(x)=2-
x
和f2(x)=1+3•(
1
2
)x（x≥0）是否屬于集合A，并簡(jiǎn)要說明理由；
（2）把（1）中你認(rèn)為是集合A中的一個(gè)函數(shù)記為g（x），若不等式g（x）+g（x+2）≤k對(duì)任意的x≥0總成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模）定義：對(duì)函數(shù)y=f（x），對(duì)給定的正整數(shù)k，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，使得f（x0+k）=f（x0）+f（k），則稱函數(shù)f（x）為“k性質(zhì)函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f(x)=
1
x
是否為“k性質(zhì)函數(shù)”？說明理由；
（2）若函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
為“2性質(zhì)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知函數(shù)y=2x與y=-x的圖象有公共點(diǎn)，求證：f（x）=2x+x2為“1性質(zhì)函數(shù)”．

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