Question

設(shè)平面上P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P=（cos

x

2

，sin

x

2

）、Q(-cos

3x

2

，sin

3x

2

)，其中x∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）求|PQ|的表達(dá)式；
（Ⅱ）記f（x）=|PQ|²-|PQ|，求函數(shù)f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）由兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合三角恒等變換公式化簡得|PQ|=2|cosx|，再由x∈[0，

π

2

]可得|PQ|=2cosx；
（II）由（I）的|PQ|表達(dá)式，得f（x）=4cos²x-2cosx=4（cosx-

1

4

）²-

1

4

，再由cosx∈[0，1]結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可算出f（x）的最小值和最大值．

解答：解：（I）P=（cos

x

2

，sin

x

2

）、Q(-cos

3x

2

，sin

3x

2

)，
∴|PQ|=

(cos x 2 +cos 3x 2 )2+(sin x 2 -sin 3x 2 )2

=

(cos2 x 2 +sin2 x 2 )+(cos2 3x 2 +sin2 3x 2 )+2(cos x 2 cos 3x 2 -sin x 2 sin 3x 2 )

=

2+2cos2x

=

4cos2x

=2|cosx|
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx＞0，可得|PQ|=2cosx…（6分）
（II）f（x）=|PQ|²-|PQ|=4cos²x-2cosx=4（cosx-

1

4

）²-

1

4

…（8分）
∵x∈[0，

π

2

]，得cosx∈[0，1]
∴由二次函數(shù)性質(zhì)知：當(dāng)cosx=

1

4

時，f（x）有最小值-

1

4

當(dāng)cosx=1時，f（x）有最大值2…（12分）

點(diǎn)評：本題給出點(diǎn)含有三角函數(shù)坐標(biāo)的形式，求|PQ|的表達(dá)式，并依此求f（x）=|PQ|²-|PQ|的最值．著重考查了三角恒等變換公式、兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．