Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a≤3 （2）a∈{0}∪（2，+∞）

【解析】

（1）利用分離參數(shù)法將不等式轉(zhuǎn)化為a＜+2x，求出+2x的最小值即可求解.

（2）討論的正負(fù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解方程組即可求解.

（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，

得a﹣＜2x即a＜+2x，

記g（x）=+2x，在（1，+∞）上是增函數(shù)，

得g（x）＞g（1）=3，

所以：a≤3

（2）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?/span>0）∪（0，+∞）

（ⅰ）當(dāng)n＞m＞0時(shí)，f（x）在[m，n]上是增函數(shù)，

故，即，

所以方程中有兩解， a＞2；

（ⅱ） 當(dāng)0＞n＞m時(shí)，f（x）在[m，n]上是減函數(shù)，

故，即，兩式作差且可得，

此時(shí)解得：a=0；

所以：a∈{0}∪（2，+∞）．