Question

已知△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且有4bcosAcosB=9asin²B．
（Ⅰ）求tanA•tanB的值；
（Ⅱ）求tanC的最大值，并判斷此時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵4bcosAcosB=9asin²B
∴4cosAcosB=9sinAsinB…（3分）
顯然cosAcosB≠0
∴…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故有tanA＞0，tanB＞0
∴…（8分）
∵
…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB，即A=B時(shí)，tanC取得最大值，
此時(shí)△ABC為等腰三角形． …（12分）
分析：（Ⅰ）利用4bcosAcosB=9asin²B，直接求tanA•tanB的值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)果，通過(guò)tanC=tan[π-（A+B）]，誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切函數(shù)，求出tanC的最大值，然后判斷此時(shí)△ABC的形狀．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，誘導(dǎo)公式與兩角和的正切函數(shù)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．