Question

設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx(x∈R)

(1)證明f(x+2kπ)f(x)=2kπsinx．其中k∈Z；

(2)設(shè)x₀是f(x)的一個極值點．證明[f(x₀)]²=；

 (3)設(shè)f(x)在(0，+∞)的全部極值點按從小到大的順序a₁,a₂，…，a_n，…，證明：<a_n+1-a_n<π．

Answer 1

 (3)證明：設(shè)x₀>0是f′(x)=0的任意正實根，即x₀-tanx₀，則存在一個非負(fù)整數(shù)k，使x₀∈(+kπ，π+kπ)，即x₀在第二或第四象限內(nèi)．由①式f′(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號可列表如下：

X	()
f′(x)的符號	K為奇數(shù)	-	0	+
K為偶數(shù)	+	0	-

所以滿足f′(x)=0的正根x₀都為f(x)的極值點．

由題設(shè)條件，a₁,a₂，…，a_n…為方程x=-tanx的全部正實根且滿足a₁<a₂<…<a_n<…那么對于n=1，2，…

a_n+1-a_n=-(tana_n+1-tana_n)=-(1+tana_n+1·tana_n)tan(a_n+1-a_n)．  ②

由于+(n-1)π<a_n<π+(n-1)π，+nπ<a_n+1<π+nπ，則<an+1-an<,由于tana_n+1·tana_n>0，由②式知tan(a_n+1-a_n)<．0由此可知a_n+1-a_n必在第二象限，即a_n+1-a_n<π.綜上，<a_n+1-a_n<π