Question

18．如圖，∠ACB=90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD=AB=2，則三棱錐D-AEF體積的最大值為 $\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 要求三棱錐D-AEF體積的最大值，由題意可得：DE⊥平面AEF，且DE=$\sqrt{2}$．因此只有求出Rt△AEF面積的最大值即可．

解答 解：∵DA⊥平面ABC，
∴DA⊥AB，AD⊥BC．
∵AE⊥BD，又AD=AB=2，
∴DE=$\sqrt{2}$．
又BC⊥AC，AC∩AD=A，
∴BC⊥平面ACD．
∴平面BCD⊥平面ACD，
∵AF⊥CD，平面BCD∩平面ACD=CD，
∴AF⊥平面BCD．
∴AF⊥EF，BD⊥EF．
∴BD⊥平面AEF．
由AF²+EF²=AE²=2≥2AF•EF，
∴AF•EF≤1．
∴S_△AEF≤$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$．
∴則三棱錐D-AEF體積的最大值為$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式、三角形的面積計算公式、三角形相似的性質、圓的性質、射影定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．