Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+1，g（x）=2x，數(shù)列{a_n}滿足對于一切n∈N^*有a_n＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)．?dāng)?shù)列{b_n}滿足bn=logana，設(shè)k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（3）若k+l=M₀（M₀為常數(shù)），求數(shù)列{a_n}從第幾項起，后面的項都滿足a_n＞1．

Answer 1

分析：（1）通過計算f（a_n+1）-f（a_n）=g（a_n+1+

3

2

），結(jié)合已知條件可得：6a_n=2a_n+1，從而得出數(shù)列{a_n}為公比為3的等比數(shù)列．
（2）由對數(shù)的運算性質(zhì)，得

1

bn+1

-

1

bn

=loga

an+1

an

=loga 3，所以數(shù)列{

1

bn

}是以

1

b1

為首項，公差等于log_a3的等差數(shù)列；再利用等差數(shù)列的通項與性質(zhì)，即可算出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（3）由k+l=M₀得出初始值：

1

b1

=3M0-2，由等差數(shù)列的通項公式得出

1

bn

=3M0-3n+1，假設(shè)第m項后有a_n＞1且第m項后

1

bn

＜0，得出m滿足M0-

2

3

＜m＜M0+

1

3

，此時可得當(dāng)m=M₀故數(shù)列{a_n}從M₀+1項起滿足a_n＞1．

解答：解：（1）∵f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)
∴3(an+1)2+1-3an2-1=2(an+1+

3

2

)，即6a^=2an+1⇒

an+1

an

=3
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為3．
（2）bn=logana⇒

1

bn

=logaan⇒

1

bn+1

-

1

bn

=loga

an+1

an

=loga3
所以數(shù)列{

1

bn

}是以

1

b1

為首項，公差為log_a3的等差數(shù)列．
又loga3=

1 b k- 1 b l

k-l

=

1+3l-1-3k

k-l

=-3⇒a=3-

1

3

=(

1

3

)

1

3

又

1

bk

=

1

b1

+(k-1)(-3)=1+3l，且k+l=9
∵

1

b1

=3(k+l)-2=25
∴

1

bn

=25+(n-1)(-3)=28-3n⇒bn=

1

28-3n

（3）∵k+l=M₀⇒

1

b1

=3M0-2
∴

1

bn

=3M0-2+(n-1)(-3)=3M0-3n+1
假設(shè)第m項后有a_n＞1
∵a=(

1

3

)

1

3

∈(0，1)⇒

1

bn

=logaan＜0
即第m項后

1

bn

＜0，
于是原命題等價于

1 bm ＞0 1 bm+1 ＜0

⇒

3M0-3m+1＞0       3M0-3(m+1)+1＜0

⇒M0-

2

3

＜m＜M0+

1

3

∵m，M∈N^*⇒m=M₀故數(shù)列{a_n}從M₀+1項起滿足a_n＞1．

點評：本題考查了等差和等比數(shù)列的綜合，以及數(shù)列與不等式相結(jié)合等等知識點，屬于難題．解題時請注意對數(shù)式的處理，和利用派生數(shù)列研究題中要求數(shù)列的技巧運用．