Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ ，（a＞0）
（1）當a=2時，求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（3）求函數f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2時，f（x）=lnx+ ，（x＞0），且f（1）=0，

又∵f（x）= ，（x＞0），

∴f（x）在x=1處的切線斜率為f′（1）= ，

故切線的斜率為y= （x﹣1），

即x﹣2y﹣1=0

（2）解：由題意，f′（x）= ﹣ = ，

∵a為大于零的常數，

若使函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增，

則使ax﹣1≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，

即a﹣1≥0，故a≥1

（3）解：①當a≥1時，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞增，

則fmin（x）=f（1）=0；

②當0＜a≤ 時，f′（x）在區(qū)間[1，2]恒不大于0，

f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，

則fmin（x）=f（2）=ln2﹣ ；

③當 ＜a＜1時，令f′（x）=0可解得，x= ∈（1，2）；

易知f（x）在區(qū)間[1， ]單調遞減，在[ ，2]上單調遞增，

則fmin（x）=f（ ）=ln +1﹣ ；

綜上所述，

①當a≥1時，fmin（x）=0；

②當 ＜a＜1時，fmin（x）=ln +1﹣ ；

③當0＜a≤ 時，fmin（x）=ln2﹣

【解析】（1）根據a的值求得函數解析式，再根據f（x）在x=1處的切線斜率為f′（1）進而求得其切線方程；（2）由函數的單調遞增區(qū)間可知f′（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，解不等式即可得a的取值范圍；（3）求函數在一個區(qū)間上的最小值，先判斷該區(qū)間上函數的單調性，不能確定時，需對不確定的量進行分類討論.
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減．