Question

【題目】橢圓 的兩頂點(diǎn)為A，B如圖，離心率為 ，過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．

（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A，B兩點(diǎn)時(shí)，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，

由已知得： ，所以 ，橢圓的方程為 ，

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，

設(shè)直線l的方程為y=kx+1，C1（x1，y1），D（x2，y2），

將直線l的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，

則 ， ，∴ = ，解得： ，

所以直線l的方程為 ，

（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，

設(shè)直線l的方程為y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

由（Ⅰ）知 ， ，

且直線AC的方程為 ，且直線BD的方程為 ，

將兩直線聯(lián)立，消去y得 ，

∵﹣1＜x1，x2＜1，∴ 與 異號(hào)，

= ， ，

∴ 與y1y2異號(hào)， 與 同號(hào)，

∴ ，解得，x=﹣k，

故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣k，y0），

，

故 為定值

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意由兩點(diǎn)間的距離公式可得，要求出C、D的坐標(biāo)故可設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立用韋達(dá)定理即可得到C、D橫坐標(biāo)之間的關(guān)系再代入即可求解直線方程。（Ⅱ）先排除特殊情況再用向量法求解，即設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程用韋達(dá)定理表示出坐標(biāo)之間的關(guān)系，再代入向量數(shù)量積公式即可得證。