Question

9．如圖，平行四邊形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，AE交BD于M，試用向量的方法證明，M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)．

Answer 1

分析 將$\overrightarrow{BM}$兩次表示，利用向量分解定理，即可得出結(jié)論．

解答 證明：設(shè)$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BD}$，∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BA}$+t$\overrightarrow{BC}$．
又∵$\overrightarrow{BM}$=k$\overrightarrow{BA}$+（1-k）$\overrightarrow{BE}$=k$\overrightarrow{BA}$+（1-k）$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$（1-k）$\overrightarrow{CD}$
=$\frac{1}{2}$（1+k）$\overrightarrow{BA}$+（1-k）$\overrightarrow{BC}$．
由向量分解定理，$\overrightarrow{BM}$的表示是唯一的，
∴t=$\frac{1}{2}$（1+k）且t=1-k，解得：t=$\frac{2}{3}$，即M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量分解定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確表示向量是關(guān)鍵．