Question

某化工廠近期要生產(chǎn)一批化工試劑，經(jīng)市場調查得知，生產(chǎn)這批試劑廠家的生產(chǎn)成本有以下三個方面：①生產(chǎn)1單位試劑需要原料費50元；②支付所有職工的工資總額由7500元的基本工資和每生產(chǎn)1單位試劑補貼20元組成；③后續(xù)保養(yǎng)的平均費用是每單位（x+

600

x

-30）元（試劑的總產(chǎn)量為x單位，50≤x≤200）．
（Ⅰ）把生產(chǎn)每單位試劑的成本表示為x的函數(shù)關系P（x），并求出P（x）的最小值；
（Ⅱ）如果產(chǎn)品全部賣出，據(jù)測算銷售額Q（x）（元）關于產(chǎn)量x（單位）的函數(shù)關系為Q（x）=1240x-

1

30

x³，試問：當產(chǎn)量為多少時生產(chǎn)這批試劑的利潤最高？

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)生產(chǎn)這批試劑廠家的生產(chǎn)成本有三個方面，可得函數(shù)關系P（x），利用配方法求出P（x）的最小值；
（Ⅱ）生產(chǎn)這批試劑的利潤L（x）=1240x-

1

30

x³-（x²+40x+8100），利用導數(shù)，可得結論．

解答： 解：（Ⅰ）P（x）=[50x+7500+20x+x（x+

600

x

-30）]÷x=x+

8100

x

+40，
∵50≤x≤200，
∴x=90時，P（x）的最小值為220元；
（Ⅱ）生產(chǎn)這批試劑的利潤L（x）=1240x-

1

30

x³-（x²+40x+8100），
∴L′（x）=1200-

1

10

x²-2x=-

1

10

（x+120）（x-100），
∴50≤x＜100時，L′（x）＞0，100＜x≤200時，L′（x）＜0，
∴x=100時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，即產(chǎn)量為100單位時生產(chǎn)這批試劑的利潤最高．

點評：本題考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，考查配方法，考查導數(shù)知識的綜合運用，屬于中檔題．