Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+1．
（1）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求實(shí)數(shù) a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，

知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+1的對(duì)稱軸為x=a，即a=1；

（2）解：函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+1的圖象的對(duì)稱軸為直線x=a，

由f（x）在[a，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，

y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，得，a≤1；

（3）解：函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸x=a，可得最大值只能在端點(diǎn)處取得．

當(dāng)a＜0時(shí)，x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為：2﹣2a；

當(dāng)a＞0時(shí)，x=﹣1時(shí)，函數(shù)取得最大值為：2+2a；

當(dāng)a=0時(shí)，x=1或﹣1時(shí)，函數(shù)取得最大值為：2．

【解析】（1）由題意可得x=1為對(duì)稱軸，求得f（x）的對(duì)稱軸方程，即可得到a；（2）求得f（x）的遞增區(qū)間，[1，+∞）為它的子區(qū)間，可得a的范圍；（3）由函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸x=a，可得最大值只能在端點(diǎn)處取得，討論a=0，a＞0，a＜0，即可得到所求最大值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最值及其幾何意義和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲担焕�用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．